Ein Briefwechsel von 1654 über eine abgebrochene Würfelpartie legte den Grundstein der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Der Fragesteller war ein Literat

Die Frage kam von Antoine Gombaud, genannt Chevalier de Méré (1607–1684). Er schrieb über Lebensart und feinen Umgang, verkehrte in den Pariser Salons und spielte leidenschaftlich gern. Mathematiker war er nicht, aber er rechnete mit. Eine Wette kannte er gut: Bei vier Würfen mit einem Würfel mindestens eine Sechs zu werfen, gelingt in gut der Hälfte der Fälle, genauer in etwa 52 Prozent. Dieselbe Wette mit zwei Würfeln hielt er für gleichwertig, wenn man auf 24 Würfe erhöht und eine Doppelsechs verlangt. Sie geht aber nur in rund 49 Prozent der Fälle auf. Das merkte er beim Spielen.

Das zweite Rätsel konnte er gar nicht lösen, nämlich die abgebrochene Partie. Also fragte er seinen Freund Pascal. Dieselbe Rechnung läuft heute im Hintergrund jedes Spiels mit Zufallsanteil, ob am Kartentisch oder auf einer Plattform, auf der man Online Casino spielen kann. Wie oft ein Ergebnis zu erwarten ist, lässt sich ausrechnen. Die Grundregeln dafür stehen in diesen Briefen.

Zwei Wege, ein Ergebnis

Neu war das Rätsel nicht. Der Italiener Luca Pacioli hatte es schon 1494 gedruckt, samt einer Lösung, die nicht stimmte. Ein Beispiel macht das Problem greifbar. Zwei Spieler legen je 32 Pistolen auf den Tisch und spielen auf drei gewonnene Runden. Beim Stand von 2:1 muss abgebrochen werden. Wer bekommt wie viel? Die alte Faustregel teilte nach den bisher gewonnenen Runden. Pascal und Fermat teilten nach den Chancen, die noch im Spiel stecken. Bei gleichen Gewinnchancen pro Runde hat der Führende eine Wahrscheinlichkeit von 75 Prozent, die Partie zu gewinnen: Entweder gewinnt er die nächste Runde direkt oder er entscheidet bei einem Stand von 2:2 die letzte Runde für sich. Sein Gegner hat dagegen nur eine Gewinnchance von 25 Prozent, da er beide verbleibenden Runden gewinnen müsste. Entsprechend erhält der Führende 48 der insgesamt 64 Pistolen, der andere 16.

Die Wege dahin unterschieden sich. Fermat zählte alle denkbaren Fortsetzungen des Spiels auf und verglich, in wie vielen davon welcher Spieler gewinnt. Pascal rechnete rückwärts, von der letzten Runde zur aktuellen Lage. Dabei half ihm das arithmetische Dreieck, das wir heute Pascalsches Dreieck nennen. Erfunden hatte er es nicht, aber er war der Erste, der seine Eigenschaften systematisch bewies.

Nicht alle ließen sich überzeugen. René Descartes schrieb in einem Brief an Huygens polemisch über Pascal, obwohl die Ergebnisse eindeutig waren. Der erste Brief Pascals ist verloren. Erhalten sind unter anderem die Briefe vom 29. Juli und vom 24. August 1654. Zwischen Juli und Oktober gingen insgesamt sieben Briefe hin und her.

Was aus den Briefen wurde

Die Folgen reichen weit über die Spieltische hinaus:

• Der Niederländer Christiaan Huygens hörte 1655 in Paris von den Briefen, kannte die Methoden aber nicht. Er rechnete selbst und veröffentlichte 1657 De ratiociniis in ludo aleae, die erste gedruckte Abhandlung über Wahrscheinlichkeit.
• Fermats Idee, alle möglichen Ausgänge aufzulisten, gilt als Vorläufer des modernen Aufbaus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Pascals Rückwärtsrechnung wurde zum Werkzeug für spätere Verfahren, bis hin zur Finanzmathematik.
• Pascal selbst erlebte im November 1654 seine zweite Bekehrung und schrieb danach vor allem Religiöses: 1656–1657 die Lettres provinciales, später die Pensées, die erst nach seinem Tod erschienen.

In den Pensées steht auch die berühmte Wette. Wer an Gott glaubt, riskiert wenig und kann unendlich viel gewinnen. Es ist ein Gedankenspiel mit Einsatz und Gewinnerwartung, also genau das Denken, das Pascal zuvor an der abgebrochenen Partie geübt hatte.

Wer in der Oberstufe Stochastik hatte, kennt das Dreieck und die Binomialkoeffizienten aus dem Unterricht. Dahinter steckt ein ganz praktischer Streit: Wer bekommt wie viel vom Einsatz?